Question

如圖，兩個同心圓的圓心是O，大圓的半徑為13，小圓的半徑為5，AD是大圓的直徑．大圓的弦AB，BE分別與小圓相切于點C，F．AD，BE相交于點G，連接BD．

(1)求BD 的長；
(2)求∠ABE+2∠D的度數；
(3)求的值．

Answer 1

（1）10
（2）180°
（3）解析:
解: (1)連接OC.

∵AB是小圓的切線,C是切點,
∴OC⊥AB,
∴C是AB的中點.   …………………1分
∵AD是大圓的直徑,
∴O是AD的中點.
∴OC是△ABD的中位線.
∴BD="2OC=10. " ………………………2分
(2)由(1)知C是AB的中點.
同理F是BE的中點.
由切線長定理得BC=BF.
∴BA="BE.                           " ………………………………3分
∴∠BAE=∠E.
∵∠E=∠D,  ………………………………………………………………4分
∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE="180º.   " …………………………5分
(3)在Rt△OCB中,
∵OB="13, " OC=5,
∴BC="12.     " ……………………………………………………………6分
由(2)知∠OBG=∠OBC=∠OAC.
∵∠BGO=∠AGB,
∴△BGO∽△AGB.    ……………………………………………………7分
∴.   ……………………………………8分