Question

如圖，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是兩個等邊三角形，PB與DQ交于M，BP與CQ交于E，CP與DQ交于F．求證：PM=QM．

Answer 1

證明：在正方形ABCD中，△PBC、△QCD都是等邊三角形，
∴∠QCB=∠PCD=30°．
又∵BC=CD，
∠PBC=∠QDC，
∴△EBC≌△FDC，
∴CE=CF．
又∵CQ=CD=BC=CP，
∴PF=QE，
又∵∠P=∠Q，
∠QME=∠PMF，
∴△MEQ≌△MFP，
∴PM=QM．
分析：要證明PM=QM，可以證明△PMF≌△QME，觀察圖形，容易發現∠P=∠Q=60°，∠PMF=∠QME，關鍵是找出一組邊相等，再聯系已知條件，發現由ASA可以證明△EBC≌△FDC，得出CE=CF，從而PF=QE．
點評：證題較復雜時，一般采取“兩頭湊”的方法，即由求證出發，看需要哪些條件，再由已知出發，能夠得出哪些結論，然后選擇比較，得出結果．