Question

如圖，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板繞點D按逆時針方向旋轉。

   （1）在圖①中，DE交AB于M，DF交BC于N。

        ①證明：DM=DN；

②在這一旋轉過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發生變化？若發生變化，請說明是如何變化的？若不發生變化，求出其面積；

   （2）繼續旋轉至如圖②的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；

   （3）繼續旋轉至如圖③的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？請寫出結論，不用證明。

       

Answer 1

解：（1）①證明：連結DB。在Rt△ABC中，∵AB=BC，AD=DC，

∴DB=DC=AD   ∠BDC=90°   ∠ABD=∠C=45°

∵∠DMB+∠DNB=180°，  ∴∠DMB=∠DNC

∴△BMD≌△CND    ∴DM=DN

②四邊形DMBN的面積不發生變化。

由①知△BMD≌△CND，  ∴S_△BMD= S_△CND   

∴S_{四邊形DMBN}= S_△DBN+ S_△BMD= S_△DNB+ S_△DNC= S_△DBC=

（2）DM=DN仍然成立。

證明：連結DB，在Rt△ABC中，  ∵AB=BC，BD=DC，

∴∠DBM=∠DCN=135°   ∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°，

∴∠CDN=BDM   ∴△CDN≌△BDM

∴DM=DN。

（3）DM=DN