Question

如圖，⊙A和⊙B是外離的兩圓，兩圓的連心線分別交⊙A、⊙B于E、F，點P是線段AB上的一動點（點P不與E、F重合），PC切⊙A于點C，PD切⊙B于點D，已知⊙A的半徑為2，⊙B的半徑為1，AB=5．
（1）如設線段BP的長為x，線段CP的長為y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（2）如果PC=PD，求PB的長；
（3）如果PC=2PD，判斷此時直線CP與⊙B的位置關系，證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由PC是圓A的切線，可得∠ACP=90°，在Rt△ACP中，由AC²+CP²=AP²，即可求得y關于x的函數解析式；
（2）由PC=PD，可得

x2-10x+21

=

x2-1

，解此方程即可求得PB的長；
（3）首先易證△ACP∽△BDP，可得∠APC=∠BPD，然后過點B作CP的垂線交CP的延長線于H，可得BD=BH，則可得直線CP與圓B相切．

解答：解：（1）∵PC是圓A的切線，
∴∠ACP=90°（1分）
在Rt△ACP中，AC²+CP²=AP²，
∴4+y²=（5-x）²，
∴y=

x2-10x+21

（1＜x＜3）；（4分）

（2）∵PC=PD，
∴

x2-10x+21

=

x2-1

，
∴x=

11

5

（符合要求）
∴PB的長為

11

5

；（3分）

（3）∵PC=2PD，
∴

PC

PD

=

AC

BD

=2，∠ACP=∠BDP=90°，
∴△ACP∽△BDP，
∴∠APC=∠BPD，（3分）
過點B作CP的垂線交CP的延長線于H，
∵∠APC=∠BPH，
∴∠BPD=∠BPH，
又∵BD⊥DP，BH⊥PH，
∴BD=BH，（2分）
∴直線CP與圓B相切．（1分）

點評：此題考查了圓的切線的性質與判定，勾股定理的應用，圓與圓的位置關系等知識．此題難度適中，解題的關鍵是注意方程思想與數形結合思想的應用．