Question

如圖，⊙A和⊙B是外離兩圓，⊙A的半徑長(zhǎng)為2，⊙B的半徑長(zhǎng)為1，AB=4，P為連接兩圓圓心的線段AB上的一點(diǎn)，PC切⊙A于點(diǎn)C，PD切⊙B于點(diǎn)D．
（1）若PC=PD，求PB的長(zhǎng)．
（2）試問線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使PC²+PD²=4？如果存在，問這樣的P點(diǎn)有幾個(gè)并求出PB的值；如果不存在，說明理由．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)到某處，使PC⊥PD時(shí)，就有△APC∽△PBD．請(qǐng)問：除上述情況外，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)到何處（說明PB的長(zhǎng)為多少；或PC、PD具有何種關(guān)系）時(shí)，這兩個(gè)三角形仍相似；并判斷此時(shí)直線CP與⊙B的位置關(guān)系，證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）∵PC切⊙A點(diǎn)于C，
∴PC⊥AC，
PC²=PA²-AC²，
同理PD²=PB²-BD²，
∵PC=PD，
∴PA²-AC²=PB²-BD²
設(shè)PB=x，PA=4-x代入得x²-1²=（4-x）²-2²，
解得x=，1＜＜2，
即PB的長(zhǎng)為（PA長(zhǎng)為＞2），

（2）假定存在一點(diǎn)P使PC²+PD²=4，設(shè)PB=x，
則PD²=x²-1 PC²=（4-x）²-2²，
代入條件得（4-x）²-2²+x²-1=4，
代簡(jiǎn)得2x²-8x+7=0解得x=2±，
∵P在兩圓間的圓外部分，
∴1＜PB＜2即1＜x＜2，
∴滿足條件的P點(diǎn)只有一個(gè)，這時(shí)PB=2-，

（3）當(dāng)PC：PD=2：1或PB=時(shí)，也有△PCA∽△PDB，
這時(shí)，在△PCA與△PDB中或，
∠C=∠D=90°，
∴△PCA∽△PDB，
∴∠BPD=∠APC=∠BPE（E在CP的延長(zhǎng)線上），
∴B點(diǎn)在∠DPE的角平分線上，B到PD與PE的距離相等，
∵⊙B與PD相切，
∴⊙B也與CP的延長(zhǎng)線PE相切．
分析：（1）由于PC，PD都是切線，那么三角形ACP和PDB就都是直角三角形，那么我們可以用勾股定理來表示出PC²和PD²，由于PC=PD，那么可得出關(guān)于CA²、AP²、PB²、BD²的比例關(guān)系式，已知了AC，BD，AB的值如果我們用PB表示出AP，就能在這個(gè)比例關(guān)系式中求出PB的值；
（2）方法同（1）類似只不過相等改成了PC²+PD²=4，可用（1）的方法先求出PB的長(zhǎng)，然后根據(jù)PB的取值范圍來判斷有幾個(gè)符合條件的值；
（3）要兩個(gè)三角形相似，已知的條件有∠ACP=∠BDP=90°，AC：BD=2：1，那么只要讓PC：PD=2：1，就能構(gòu)成三角形相似判定中兩組對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的條件，兩三角形相似后∠CPA=∠CPB，如果延長(zhǎng)CP那么CP延長(zhǎng)線與PD組成的角中，PB正好是角平分線，根據(jù)角平分線的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可得出B到CP延長(zhǎng)線的距離等于半徑BD的長(zhǎng)，因此CP與⊙B也相切．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線性質(zhì)的判定以及相似三角形的判定，具有一定的綜合性，難度較大．