Question

（2008•清遠）如圖：已知在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，將一個含30°的直角三角形DEF的最小內角所在的頂點D與直角三角形ABC的頂點C重合，當△DEF繞著點C旋轉時，較長的直角邊和斜邊始終與線段BA交于G，H兩點（G，H可以與B，A重合）
（1）如圖（1），當∠BCF等于多少度時，△BCG≌△ACH？請給予證明；
（2）如圖（2），設GH=x，陰影部分（兩三角形重疊部分）面積為y，寫出y與x的函數關系式；當x為何值時，y最大，并求出最大值．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】分析：（1）在△BCG和△ACH中，已經知道一組邊和一組角相等，只要∠BCF=∠ACH即可，根據題中數據，即可求出．
（2）作CM⊥AB，可根據AC、BC求出CM，然后根據三角形面積公式解答．
解答：解：（1）在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠A=∠B=45°，
當∠ACH=∠BCG時，△BCG≌△ACH．
又因為∠GCH=30°，
所以∠BCF=∠ACH=30°．

（2）作CM⊥AB于M，
因為在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2，
所以AB=2，因此CM=．
所以S_△GCH=，即y=x．
當G和B重合、或H和A重合時，面積最大，如圖：作HK⊥BC與K，
在Rt△BHK中，因為BH=x，
所以BK=HK=x，
又∵在RT△CHK中，∠HCK=30°，
∴CK=KH=x，
因此BC=BK+CK，即，
解之得：x=，
此時y==．
點評：此題考查了三角形全等以及直角三角形的相關知識，難易程度適中．