Question

已知：如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=6，AB=8，sinC=，點P在射線DC上，點Q在射線AB上，且PQ⊥CD，設DP=x，BQ=y．
（1）求證：點D在線段BC的垂直平分線上；
（2）如圖2，當點P在線段DC上，且點Q在線段AB上時，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；
（3）若以點B為圓心、BQ為半徑的⊙B與以點C為圓心、CP為半徑的⊙C相切，求線段DP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過D作DH⊥BC于H，得出四邊形ABHD是矩形，推出DH=AB，BH=AD，在Rt△DHC中，求出DC=10，HC=6，推出BH=HC=6即可；                     
（2）延長BA、CD相交于點S，根據三角形的中位線求出SD=DC=10，SA=AB=8，得出DP=x，BQ=y，SP=x+10，證△SPQ～△SAD，得出==，求出SQ=（x+10）即可；
（3）有三種情況：（ⅰ）當點P在線段DC上，且點Q在線段AB上時，只有可能兩圓外切，由BQ+CP=BC，-x++10-x=12，求出x即可；（ⅱ）當點P在線段DC上，且點Q在線段AB的延長線上時，兩圓不可能相切，（ⅲ）當點P在線段DC的延長線上，且點Q在線段AB的延長線上時，得出BQ=x-，CP=x-10，若兩圓外切，BQ+CP=BC，即x-+x-10=12，若兩圓內切，|x--（x-10）|=12，求出即可．
解答：（1）證明：過D作DH⊥BC于H，如圖①，
在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=∠A=90°，∠BHD=90°，
∴四邊形ABHD是矩形，
∴DH=AB，BH=AD，
又∵AD=6，AB=8，
∴DH=8，BH=6，
在Rt△DHC中，sinC=，設DH=4k=8，DC=5k
∴DC=10，HC==6，
∴BH=HC=6，
又∵DH⊥BC，
∴點D在線段BC的垂直平分線上．
     
（2）解：延長BA、CD相交于點S，如圖②，
∵AD∥BC且BC=12，
∴AD=BC，
∴===，
∴SD=DC=10，SA=AB=8，
∵DP=x，BQ=y，SP=x+10，
∠S=∠S，∠SAD=∠SPQ=90°，
∴△SPQ～△SAD
∴==，
∴SQ=（x+10），
∴BQ=16-（x+10），
∴所求的解析式為：y=-x+，定義域是0≤x≤．

（3）解：有三種情況：
（ⅰ）當點P在線段DC上，且點Q在線段AB上時，只有可能兩圓外切，
由BQ+CP=BC，-x++10-x=12，
解得：x=，
（ⅱ）當點P在線段DC上，且點Q在線段AB的延長線上時，兩圓不可能相切，
（ⅲ）當點P在線段DC的延長線上，且點Q在線段AB的延長線上時，
此時BQ=x-，CP=x-10                             
若兩圓外切，BQ+CP=BC，即x-+x-10=12，
解得：x=，
若兩圓內切，|BQ-CP|=BC，
即|x--（x-10）|=12，
x--（x-10）=12，x--（x-10）=-12，
x=22，x=-74（不合題意舍去），
綜上所述，⊙B與⊙C相切時，線段DP的長為或或22．
點評：本題考查了圓與圓的位置關系，勾股定理，三角形的中位線，函數的應用等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，本題較好，有一定的難度．