Question

已知，如圖1，直角梯形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=nAD，AE⊥BD于點E，過E作CE的垂線交直線AB于點F．
（1）當n=4時，則

AE

BE

=

 

，

ED

BE

=

 

；
（2）當n=2時，求證：BF=AF；
（3）如圖2，F點在AB的延長線上，當n=

 

時，B為AF的中點；如圖3，將圖形1中的線段AD沿AB翻折，其它條件不變，此時F點在AB的反向延長線上，當n=

 

時，A為BF的中點．

Answer 1

分析：（1）根據AE⊥BD，梯形ABCD是直角梯形可求出△ADE∽△ADE，可求出∠ABD=∠DAE，由于AE⊥BD，可求出△ADE∽△BAE，根據相似三角形的性質即可解答；
（2）（3）的思路和解法一致，都是通過一對相似三角形來求解；由于∠AEB=∠CEF=90°，兩角加上（或減去）一個同角后，可得∠AEF=∠BEC，而易證得∠EBC=∠ADE=∠BAE，即可得△AEF∽△BEC，然后根據這個相似三角形所得比例線段及已知的線段比例關系，來求得n的值或BF、AF的數量關系．

解答：解：（1）∵AE⊥BD，梯形ABCD是直角梯形，
∴∠AED=∠DAB，∠ADE=∠ADE，
∴△ADE∽△BDA，即∠DAE=∠ABD，
∵AE⊥BD，
∴∠AED=∠AEB，
∴△ADE∽△BDA，
∵n=4，
∴

AD

AB

=

ED

AE

=

AE

BE

=

1

4

，
∴ED=

1

4

AE，AE=

1

4

BE，
∴當n=4時，則

AE

BE

=

1

4

，

ED

BE

=

1

16

．

（2）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠EBC，而∠ADE=∠BAE=90°-∠DAE，
∴∠BAE=∠EBC；
又∵∠AEF=∠BEC=90°+∠BEF，
∴△AEF∽△BEC；
當n=2時，

AF

BC

=

AE

BE

=

AD

AB

=

1

2

，即AF=

1

2

BC=

1

2

AB；
∴BC=2AF，即F是AB的中點，AF=BF．

（3）易知∠F=∠C，∠FEA=∠BEC=90°+∠AEC（圖③為90°-∠AEC），
∴△AEF∽△BEC，得：

AF

BC

=

AE

BE

=

AD

AB

=

1

n

；
即BC=nAF；
①當B是AF的中點時，AF=2AB=2BC，n=

1

2

；
②當A是BF中點時，AF=AB=AC，即n=1．

點評：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質，能夠準確的判斷出圖中的相似三角形，是解答此題的關鍵．