Question

已知AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=α．
（1）若α=60°（如圖1）探究線段AD與CE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）若α=120°，并且點(diǎn)D在線段AB上，（如圖2）則線段AD與CE的數(shù)量關(guān)系為

 

；（直接寫出答案）
（3）探究線段AD與CE的數(shù)量關(guān)系（如圖3）并加以證明．

Answer 1

分析：（1）要探究線段AD與CE的數(shù)量關(guān)系，觀察圖形，猜測(cè)它們相等．而AD，CE不在同一個(gè)三角形中，因此要使AD，CE所在的三角形全等．為此連接BC、BE，證明△ABD≌△CBE，得出結(jié)論．
（2）過D作DF⊥BE于F，則BE=2BF，根據(jù)已知及三角函數(shù)即可得到結(jié)論．
（3）要探究線段AD與CE的數(shù)量關(guān)系，需使AD，CE成為相似三角形的對(duì)應(yīng)邊，為此連接BC、BE，證明△ABD∽△CBE，得出AD：CE=BD：BE，在等腰△BDE中根據(jù)三角函數(shù)的定義用頂角的代數(shù)式表示BD：BE，求出結(jié)果．

解答：解：（1）AD=CE．
證明：連接BC、BE，
∵AB=AC∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形．（1分）
同理△DBE也是等邊三角形．
∴AB=BCBD=BE∠ABC=∠DBE=60°．
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC=∠CBE．（2分）
∴△ABD≌△CBE．（3分）
∴AD=CE．（4分）

（2）∵∠DEB=30°=∠ACB，
∴B，E，C三點(diǎn)共線．
∵DE∥AC，
∴CE：AD=BE：BD．
過D作DF⊥BE于F，則BE=2BF，
∵BF：BD=cos∠B=cos30°，
∴CE：AD=2cos30°．
∴AD=

3

3

CE．（5分）

（3）連接BC、BE，
∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE，
∴△ABC∽△DBE．（6分）
∴

AB

BD

=

BC

BE

，∠ABC=∠DBE．
∴

AB

BC

=

BD

BE

．（7分）
∠ABD=∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，（8分）
∴

AD

CE

=

BD

BE

．（9分）
作DH⊥BE于H，
∵DB=DE，
∴∠BDH=

1

2

∠BDE=

α

2

，（10分）
BE=2BH=2BD•sin∠BDH=2BD•sin

α

2

．（11分）
∴

AD

CE

=

1

2sin α 2

．
即CE=2•AD•sin

α

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)．