Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，連接AC，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，交AB、AC于點M，N，分別以M，N為圓心，大于MN長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點H，連結AH并延長交BC于點E，再分別以A、E為圓心，以大于AE長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點P，Q，作直線PQ，分別交CD，AC，AB于點F，G，L，交CB的延長線于點K，連接GE，下列結論：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF=，④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正確的是（　　）

A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①在△AOL和△BLK中，根據三角形內角和定理，如圖兩個角對應相等，則第三個角∠LKB=∠BAC=22.5°；

②根據線段中垂線定理證明∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，可得EG∥AB；

③根據等量代換可得：∠CGF=∠BLK，可作判斷；

④連接EL，證明四邊形ALEG是菱形，根據EL＞BL，及相似三角形的性質可作判斷．

①∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠BAD=45°，

由作圖可知：AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE=22.5°，

∵PQ是AE的中垂線，

∴AE⊥PQ，

∴∠AOL=90°，

∵∠AOL=∠LBK=90°，∠ALO=∠KLB，

∴∠LKB=∠BAE=22.5°；

故①正確；

②∵OG是AE的中垂線，

∴AG=EG，

∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，

∴EG∥AB，

故②正確；

③∵∠LAO=∠GAO，∠AOL=∠AOG=90°，

∴∠ALO=∠AGO，

∵∠CGF=∠AGO，∠BLK=∠ALO，

∴∠CGF=∠BLK，

在Rt△BKL中，tan∠CGF=tan∠BLK=，

故③正確；

④連接EL，

∵AL=AG=EG，EG∥AB，

∴四邊形ALEG是菱形，

∴AL=EL=EG＞BL，

∴，

∵EG∥AB，

∴△CEG∽△CBA，

∴，

故④不正確；

本題正確的是：①②③，

故選A．