Question

某批發商6月1日以70元/千克的成本價購入了某海產品1 000千克，據市場預測，該產品的銷售價y（元/千克）與時間x（天）之間函數關系的圖象如圖中的折線段ABC所示．
（注：x=0表示6月1日）
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）若平均每天海產品將損耗15千克，此外，批發商每天保存海產品的費用為300元，且該批發商有能力隨時將這批海產品一次性賣出．問：何時出售，批發商所獲利潤w最大？最大利潤是多少？

Answer 1

考點：二次函數的應用

專題：

分析：（1）由函數的圖象可知當0≤x≤20時y和x是一次函數的關系；當20≤x≤40時y是x的常數函數，由此可得出y與x之間的函數關系式；
（2）設到第x天出售，批發商所獲利潤為w，根據等量關系“利潤=銷售總金額-收購成本-各種費用=該產品的銷售價y（元/千克）×（原購入量-x×存放天數）-收購成本-各種費用”列出函數關系式，再求出函數的最值即可．

解答：解：（1）當0≤x≤20，把（0，100）和（20，160）代入y=kx+b得

100=b 160=20k+b

，
解得：

k=3 b=100

，
∴y=3x+100，
當20≤x≤40時，y=160，
故y與x之間的函數關系式是y=

3x+100 (0≤x≤20) 160 (20≤x≤40)

，

（2）設到第x天出售，批發商所獲利潤為w，由題意得：
①當0≤x≤20；w=（y-70）（1000-15x）-300x，
由（1）得y=3x+100，
∴w=（3x+100-70）（1000-15x）-300x，
=-45x²+2250x+30000=-45（x-25）²+58125，
∵a=-45＜0，
∴函數有最大值，當x=25時，利潤最大為58125元，
∵x=0表示6月1日，
∴當6月25號一次性出售時，批發商所獲利潤w最大，最大利潤是58125元．
②當20≤x≤40時，w=（y-70）（1000-15x）-300x，
由（1）得y=160，
∴w=（3x+100-70）（1000-15x）-300=-1650x+90000．
∵-1650＜0，
∴函數有最大值，當x=20時，利潤最大為57000元，
∵58125元＞57000元．
∴當6月25號一次性出售時，批發商所獲利潤w最大，最大利潤是58125元．

點評：本題考查了二次函數和一次函數的實際應用，本題把實際問題轉化為一次函數，二次函數，求二次函數最大值，充分體現了函數在實際中的運用功能，提高學生學習的興趣．