Question

已知：如圖，直線EF與⊙O相切于點C，AB是⊙O的直徑，且BC=3，Ac=4．
（1）求半徑OC的長；
（2）在切線EF上找一點M，使得以B、M、C為頂點的三角形與△ACO相似．

Answer 1

分析：（1）由于OC是半徑，因此可在Rt△ACB中，利用勾股定理求得直徑AB長即可；
（2）由弦切角定理知：∠BCF=∠A，因此只需令∠CBM=∠OCA即可，由于△AOC是等腰三角形，若存在M點，則△BMC也必為等腰三角形，因此M點可能有兩種情況：①M點為BC垂直平分線與EF的交點；②以B為圓心，BC為半徑作弧，與EF的交點即為M點．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
∵BC=3，AC=4
∴AB=

AC2+BC2

=5
∴OC=

1

2

AB=

5

2

；

（2）∵EF是⊙O的切線，
∴∠BCF=∠A，
因此點M必在射線CF上，
設點M在射線CF上，截取CM₁=

15

8

，CM₂=

24

5

，
那么點M₁、M₂為符合條件的點M．

點評：本題考查的是圓周角定理、切線的性質、相似三角形的判定和性質；需注意的是題中的相似三角形沒有告訴對應頂點，應分情況進行討論．