Question

（2011•密云縣二模）三角形中，頂角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．
（1）在圖1中，用尺規作AB的垂直平分線交AC于D，并連接BD（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）△BCD是不是黃金三角形？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由；
（3）設，試求k的值；
（4）如圖2，在△A₁B₁C₁中，已知A₁B₁=A₁C₁，∠A₁=108°，且A₁B₁=AB，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據基本作圖中線段垂直平分線的作法進行作圖；
（2）求得各個角的度數，根據題意進行判斷；
（3）通過證明△BDC∽△ABC，根據相似三角形的性質求解即可；
（4）由黃金三角形的性質可知的值．
解答：解：（1）如圖所示；（2分）

（2）△BCD是黃金三角形．（3分）
證明如下：∵點D在AB的垂直平分線上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A．
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠ABD=∠DBC=36°．
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴△BCD是黃金三角形．（6分）

（3）設BC=x，AC=y，
由（2）知，AD=BD=BC=x．
∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴，即，
整理，得x²+xy-y²=0，
解得．/
因為x、y均為正數，所以．（11分）

（4）．（14分）
理由：延長BC到E，使CE=AC，連接AE．
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ACB=∠B=72°，
∴∠ACE=180°-72°=108°，
∴∠ACE=∠B₁A₁C₁．
∵A₁B₁=AB，
∴AC=CE=A₁B₁=A₁C₁，
∴△ACE≌△B₁A₁C₁，
∴AE=B₁C₁．
由（3）知，
∴，，
∴．
點評：此題考查的知識綜合性較強，能夠熟記黃金比的值，根據黃金比進行計算．注意根據題目中定義的黃金三角形進行分析計算．