Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于點F，交⊙O于點D，連接AD、CD，∠E=∠ADC．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）若BC=6，tanA=

2

3

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）要證明BE是⊙O的切線，即可轉化為證明∠ABE=90°即可；
（2）連接BD，有垂徑定理和圓周角定理可求出DF的長，設OB=x，則OF=x-DF，再利用勾股定理即可求出x的值，即⊙O的半徑．

解答：（1）證明：∵OD⊥BC
∴∠E+∠FBE=90°，
∵∠ADC=∠ABC，∠ADC=∠E，
∴∠ABC=∠E，
∴∠ABC+∠FBE=90°，
∴BE與⊙O相切；

（2）解：連接BD，
∵半徑OD⊥BC，
∴弧BD=弧CD，
∴∠BCD=∠CBD，
∵∠A=∠BCD，
∴∠CBD=∠A，
∴tanA=tan∠CBD=

2

3

，
∵FC=BF=3，
∴DF=2，
在Rt△CFD中：設半徑OB=x，OF=x-2，
∴x²=3²+（x-2）²，
解得：x=

13

4

，
∴⊙O的半徑為

13

4

．

點評：本題考查了切線的判定定理、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)的綜合應用，題目綜合性很強，難度一般．