Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠DAB＝60°，E、F分別是AD、CD上的兩個動點，且滿足AE+CF＝2．連接BD．

（1）圖中有幾對三角形全等？試選取一對全等的三角形給予證明；

（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由．

（3）當△BEF的面積取得最小值時，試判斷此時EF與BD的位置關系．

Answer 1

【答案】（1）△BAE≌△BDF，△BDE≌△BCF，△BAD≌△BCD，共三對；證明見解析；（2）△BEF為正三角形．理由見解析；（3）此時BD垂直平分EF．

【解析】

（1）可根據題意判斷出△BAD≌△BCD（SSS）

△BAE≌△BD（SAS）△BDE≌△BCF（SAS），任選一組證明即可.

（2）首先由（1）知△BDE≌△BCF，得到BE＝BF，再根據∠DBE＝∠CB，∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60，得到一個角為60°即可證明為等邊三角形.

（3）設BE＝BF＝EF＝x，由S△BEF＝，即面積根x值有關，當x最小，即BE垂直于AD時面積最小.

（1）△BAE≌△BDF，△BDE≌△BCF，△BAD≌△BCD，共三對；

證明：△BDE≌△BCF．

在△BDE和△BCF中，

，

故△BDE≌△BCF．

（2）△BEF為正三角形．

理由：∵△BDE≌△BCF，

∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，

∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，

∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°，

∴△BEF為等邊三角形；

（3）設BE＝BF＝EF＝x，

則S△BEF＝xxsin60°＝x2，

當BE⊥AD時，x最小＝2×sin60°＝ ，此時△BEF的面積最小，

此時點E、F分別位于AD、CD的中點，

故此時BD垂直平分EF．