Question

如圖，△ABC是Rt△，∠CAB=30°，BC=1，以AB、BC、AC為邊分別作3個等邊△ABF，△BCE，△ACD．過F作MF垂直DA的延長線于點M，連接并延長DE交MF的延長線于點N．那么tan∠N=    ．

Answer 1

【答案】分析：作EG⊥MN于點G，在直角△ABC中，利用三角函數即可求得AB、AC的長度，從而求得DM、EF的長，在直角△EFG中，利用三角函數求得FG的長，EG的長度，然后利用△DMN∽△EGN，相似三角形的對應邊的比相等，即可求得MN的長，然后利用正切函數的定義即可求解．
解答：解：作EG⊥MN于點G．
∵在直角△ABC中，BC=1，∠CAB=30°，
∴AB=2，AC=，
∵△ABF，△BCE，△ACD是等邊三角形，
∴AD=AC=，AM=AB=BF=AF=2，BE=BC=1，
∵在直角△AMF中，∠MAF=30°，AF=AB=2，
∴AM=，MF=1，
∴DM=AD+AM=+=2，EF=BE+BF=1+2=3，
又∵直角△EFG中，∠FEG=30°，
∴FG=EF=，EG=，
∴MG=1+=，
∵EG∥DM，
∴△DMN∽△EGN，
∴=，設GN=x，
∴=，
解得：x=，則MN=+=10，
∴tanN===．
故答案是：．
點評：本題考查了三角函數的定義，以及解直角三角形的方法，相似三角形的性質，正確求得MN的長度是關鍵．