Question

如圖，△ABC是RT△，∠CAB=30°，BC=1，以AB、BC、AC為邊分別作3個等邊△ABF，△BCE，△ACD．過F作MF垂直DA的延長線于點M，連接并延長DE交MF的延長線于點N．那么△DMN的面積為

10

3

．

Answer 1

分析：由△ABC是RT△，∠CAB=30°，BC=1，即可求得AB與AC的值，然后由以AB、BC、AC為邊分別作3個等邊△ABF，△BCE，△ACD，即可求得EF與DM的值，再過點E作EH⊥MN于H，即可求得FH與EH的值，繼而求得梯形MHED的面積，再利用相似三角形的性質，即可求得△DMN的面積．

解答：解：∵△ABC是RT△，∠CAB=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，AC=

BC

sin∠CAB

=

1

3 3

=

3

，
∵△ABF，△BCE，△ACD是等邊三角形，DM⊥MN，
∴FA=FB=AB=2，AD=AC=

3

，BE=BC=1，
∴∠DAB=∠DAC+∠CAB=90°，
∴∠MAF=∠MAB-∠FAB=90°-60°=30°，
∴∠AFM=60°，
∴AM=

3

，FM=1，
∴DM=AD+AM=2

3

，EF=BE+BF=3，
過點E作EH⊥MN于H，
∵∠AFM=∠AFB=60°，
∴∠EFH=180°-∠AFM-∠AFB=60°，
∴∠FEH=30°，
∴FH=

1

2

EF=

3

2

，EH=

3

2

3

，
∴MH=FM+FH=1+

3

2

=

5

2

，
∴S_梯形MHED=

1

2

（EH+MD）•MH=

1

2

×（

3

2

3

+2

3

）×

5

2

=

35

8

3

，
∵DM⊥MN，EH⊥MN，
∴EH∥DM，
∴△EHN∽△DMN，
∴

S△EHN

S△DMN

=(

EH

DM

)2=(

3 2 3

2 3

)2=

9

16

，
∴S_梯形MHED：S_△DMN=7：16，
∴S_△DMN=10

3

．
故答案為：10

3

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、含30°直角三角形的性質、等邊三角形的性質等知識．此題難度較大，解題的關鍵是掌握含30°直角三角形的性質與相似三角形的面積比等于相似比的平方定理的應用，注意輔助線的作法．