Question

已知拋物線與x軸交于不同的兩點和，與y軸交于點C，且是方程的兩個根（）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點A作AD∥CB交拋物線于點D，求四邊形ACBD的面積；

（3）如果P是線段AC上的一個動點（不與點A、C重合），過點P作平行于x軸的直線l交BC于點Q，那么在x軸上是否存在點R，使得△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．

 

 

 

 

 

Answer 1

 

（1）解方程，得．………………1分

        ∴點，點．

        ∴

        解，得

∴拋物線的解析式為．·············· 2分

（2）∵拋物線與y軸交于點C．

     ∴點C的坐標為（0，2）．

     又點，可求直線BC的解析式為．

∵AD∥CB，∴設直線AD的解析式為．

又點，∴，直線AD的解析式為．

        解，得，

∴點D的坐標為（4，）．····················· 4分

過點D作DD’軸于D’， DD’＝，則又AB＝4．

∴四邊形ACBD的面積＝AB•OC+AB•DD’＝·········· 5分

（3）假設存在滿足條件的點R，設直線l交y軸于點E（0，m），

∵點P不與點A、C重合，∴0<m <2，∵點，點，

∴可求直線AC的解析式為，∴點．

∵直線BC的解析式為，∴點．

∴．在△PQR中，

①當RQ為底時，過點P作PR₁⊥x軸于點R₁，則∠R₁PQ＝90°，PQ＝PR₁＝m．

∴，解得，∴點，

∴點R₁坐標為（，0）．····················· 6分

②當RP為底時，過點Q作Q R₂⊥x軸于點R₂，

同理可求，點R₂坐標為（1，0）．······················· 7分

③當PQ為底時，取PQ中點S，過S作SR₃⊥PQ交x軸于點R₃，則PR₃＝QR₃，∠PR₃Q＝90°．∴PQ＝2R₃S＝2m．∴，解，得，

∴點，點，可求點R₃坐標為（，0）． …………………8分

經檢驗，點R₁，點R₂，點R₃都滿足條件．

綜上所述，存在滿足條件的點R，它們分別是R₁（，0），R₂（1，0）和點R₃（，0）．

 

 

 

 

 

 

 

 解析:略