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如圖,在△ABC中,點D是AC邊上一點,AD=10,DC=8.以AD為直徑的⊙O與邊BC切于點E,且AB=BE.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)過D點作DF∥BC交⊙O于點F,求線段DF的長.

【答案】分析:(1)欲證AB是⊙O的切線,只需證明證得AB⊥AD即可;
(2)根據垂徑定理推知DF=2DG;然后根據平行線截線段成比例證得=,即=,由此可以求得DF的長度.
解答:解:(1)如圖,連接OB、OE.
在△ABO和△EBO中,
,
∴△ABO≌△EBO(SSS),
∴∠BAO=∠BEO(全等三角形的對應角相等);
又∵BE是⊙O的切線,
∴OE⊥BC,
∴∠BEO=90°,
∴∠BAO=90°,即AB⊥AD,
∴AB是⊙O的切線;

(2)∵AD=10,DC=8,
∴OC=13,OE=5,
∴在直角△OEC中,根據勾股定理知,EC=12.
設DF交OE于點G.
∵DF∥BC(已知),
∴∠OGD=∠OEC=90°(兩直線平行,同位角相等),
∴OG⊥DF,
∴FD=2DG(垂徑定理);
∵DF∥BC,
=,即=,
∴DG=,
∴DF=
點評:本題綜合考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質、切線的判定與性質以及平行線截線段成比例等知識點.在證明OE⊥DF時,也可以利用切線的性質與平行線的性質證明.
練習冊系列答案
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20、如圖,在△ABC中,∠BAC=45°,現將△ABC繞點A逆時針旋轉30°至△ADE的位置,使AC⊥DE,則∠B=
75
度.

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( 。
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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2、如圖,在△ABC中,DE∥BC,那么圖中與∠1相等的角是( 。

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精英家教網如圖,在△ABC中,AB=AC,且∠A=100°,∠B=
 
度.

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14、如圖,在△ABC中,AB=BC,邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點E、D,若BC=10,AC=6cm,則△ACE的周長是
16
cm.

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