Question

如圖，在△ABC中，點D是AC邊上一點，AD=10，DC=8．以AD為直徑的⊙O與邊BC切于點E，且AB=BE．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）過D點作DF∥BC交⊙O于點F，求線段DF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證AB是⊙O的切線，只需證明證得AB⊥AD即可；
（2）根據垂徑定理推知DF=2DG；然后根據平行線截線段成比例證得=，即=，由此可以求得DF的長度．
解答：解：（1）如圖，連接OB、OE．
在△ABO和△EBO中，
∵，
∴△ABO≌△EBO（SSS），
∴∠BAO=∠BEO（全等三角形的對應角相等）；
又∵BE是⊙O的切線，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO=90°，
∴∠BAO=90°，即AB⊥AD，
∴AB是⊙O的切線；

（2）∵AD=10，DC=8，
∴OC=13，OE=5，
∴在直角△OEC中，根據勾股定理知，EC=12．
設DF交OE于點G．
∵DF∥BC（已知），
∴∠OGD=∠OEC=90°（兩直線平行，同位角相等），
∴OG⊥DF，
∴FD=2DG（垂徑定理）；
∵DF∥BC，
∴=，即=，
∴DG=，
∴DF=．
點評：本題綜合考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質、切線的判定與性質以及平行線截線段成比例等知識點．在證明OE⊥DF時，也可以利用切線的性質與平行線的性質證明．