Question

（2009•泉州質檢）已知一次函數y=-x+m中，當x=0時，y=6．
（1）請直接寫出m的值；
（2）設該一次函數的圖象分別交x軸、y軸于點A、B若點Q的坐標為（0，4），QE⊥AB于E．
①試求QE的長；
②以Q為圓心，QE為半徑作⊙Q，試問在x軸的負半軸上是否存在點P，使得⊙P與⊙Q、直線AB都相切？若存在，請求出圓心P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將x=0代入解析式即可求得m的值；
（2）①連接AQ，將問題轉化為三角形的面積問題解答；
②根據切線的性質，構造出直角三角形BEQ和直角三角形APF，然后利用勾股定理解答．
解答：解：（1）6；（3分）

（2）①如圖1，∵OB=6，OQ=4，∴QB=2．
在中，令y=0，得x=8，即OA=8．
在Rt△AOB中，由勾股定理，
得：．                                               （2分）
連接AQ，∵，
∴10•QE=2×8，解得QE=1.6．                                            （2分）
②若⊙P與⊙Q內切且與直線AB相切．
如圖2，由①延長線段EQ交x軸的負半軸于點P，以P為圓心，
PE為半徑作⊙P，則⊙P既與⊙Q內切，又與直線AB相切．
在Rt△BQE中，由勾股定理得：．                     （1分）
∵∠BEQ=∠POQ=90°，又∠BQE=∠PQO，
∴△QEB∽△QOP．                                                         （1分）
∴，解得：OP=3．
∴點P的坐標為（-3，0）．                                                  （1分）
若⊙P與⊙Q外切且與直線AB相切，設切點分別為C、F．
連接PF、PQ，則點C在PQ上．

如圖3，設P（x，0）（x＜0），則AP=8-x
∵∠AFP=∠AOB=90°，又∠FAP=∠OAB，
∴△AFP∽△AOB．
∴，即，，（1分）
∴PC=PF=4.8-0.6x，
PQ=PC+CQ=4.8-0.6x+1.6=6.4-0.6x．
在Rt△POQ中，由勾股定理，得：PQ²=OP²=OQ²
∴（6.4-0.6x）²=x²+4²（1分）
整理得：x²+12x-39=0，
解得：（不含題意，舍去），．
綜上，存在符合條件的兩個點P，坐標分別為（-3，0）或（-6-5，0）．        （1分）
點評：本題考查了一次函數和圓的相關知識，并具有一定的開放性，題目涉及勾股定理，函數圖象與坐標系的關系以及相似三角形的性質，內容繁多，結構復雜，是一道難題．