Question

如圖，PA為⊙O的切線，B、D為⊙O上的兩點，如果∠APB=60°，∠ADB=60°．
（1）試判斷直線PB與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）如果D點是優弧AB上的一個動點，當PA=且四邊形ADBP是菱形時，求扇形OAMD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB．利用圓內接四邊形的判定與性質、圓周角定理證得⊥PB，即直線PB與⊙O相切；
（2）如圖2，連接AB、PD、OA．由菱形的兩條對角線互相垂直、垂徑定理證得點P、O、D三點共線；然后由菱形的對角線平分對角的性質、三角形外角定理推知扇形OAMD的圓心角
∠DOA=120°；最后利用扇形面積公式求解即可．；
解答：解：（1）直線PB與⊙O相切．理由如下：
如圖1，連接OP、OB、OA．
∵∠ABD=60°，
∴∠AOB=2∠ADB=120°．
又∵∠APB=60°，
∴∠APB+∠AOB=180°，
∴點P、B、O、A四點共圓，
∴∠PBO+∠PAO=180°．
∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=90°，即OB⊥PB．
又∵OB是⊙O的半徑，
∴直線PB與⊙O相切；

（2）如圖2，連接AB、PD、OA．
∵四邊形ADBP是菱形，
∴PD⊥AB，
∴由垂徑定理知，直線PD經過圓心O，
∴∠DPA=∠BPA=30°．
又∵∠PAO=90°，PA=，
∴∠DOA=120°，OA=PA•tan∠DPA=6×=6，
∴S_扇形OAMD===12π；
點評：本題考查了圓周角定理，切線的判定與性質以及扇形面積的計算等知識點．證明（1）中直線PB與⊙O相切時，借用了圓內接四邊形的判定與性質．