Question

（2013•海淀區一模）問題：如圖1，a、b、c、d是同一平面內的一組等距平行線（相鄰平行線間的距離為1）．畫出一個正方形ABCD，使它的頂點A、B、C、D分別在直線a、b、d、c上，并計算它的邊長．

小明的思考過程：
他利用圖1中的等距平行線構造了3×3的正方形網格，得到了輔助正方形EFGH，如圖2所示，再分別找到它的四條邊的三等分點A、B、C、D，就可以畫出一個滿足題目要求的正方形．
請回答：圖2中正方形ABCD的邊長為

5

．
請參考小明的方法，解決下列問題：
（1）請在圖3的菱形網格（最小的菱形有一個內角為60°，邊長為1）中，畫出一個等邊△ABC，使它的頂點A、B、C落在格點上，且分別在直線a、b、c上；
（3）如圖4，l₁、l₂、l₃是同一平面內的三條平行線，l₁、l₂之間的距離是

21

5

，l₂、l₃之間的距離是

21

10

，等邊△ABC的三個頂點分別在l₁、l₂、l₃上，直接寫出△ABC的邊長．

Answer 1

分析：（1）直接運用勾股定理就可以求出AB的值；
（2）根據等邊三角形的性質就可以畫出符合條件的圖形；
（3）過點B作DE⊥l₃于E，交l₁于D，作CF⊥l1于點F，設AD=x，AF=y，根據勾股定理建立方程組求出其解即可．

解答：解：（1）由題意，得
AE=2，BE=1，在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AB=

5

．
故答案為：

5

（2）根據條件畫出圖形為如圖3：
作垂BD⊥a與D，BF⊥c于F，CG⊥a于G，
∵∠DEB=∠BMF=∠GHC=60°，BE=1，BM=2，CH=3，
∴DE=0.5，MF=1，GH=1.5，
∴AD=2.5，FC=2，AG=0.5，
∴BD=

3

2

，BF=

3

，CG=

3 3

2

，
∴在Rt△BDG、Rt△BFC和Rt△AGC中，由勾股定理，得
AB=

3 4 + 25 4

=

7

，
BC=

3+4

=

7

，
AC=

1 4 + 27 4

=

7

，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等邊三角形；
（3）如圖4，過點B作DE⊥l₃于E，交l₁于D，作CF⊥l1于點F，
∴∠BEC=∠AFC=90°．
∵l₁∥l₃，
∴∠BEC+∠ADE=180°，
∴∠ADB=90°．
∵三角形ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC．
設AD=x，AF=y，

x2+( 21 5 )2=AB2① y2+( 63 10 )2=AC2② (x+y)2+( 21 10 )2=BC2③

，
由②-①，得
y²-x²+

441

20

=0，
20y²-20x²+441=0，
40y²-40x²+882=0 ④．
由②-③，得
-25x²-50xy+882=0 ⑤
由④-⑤，得
8y²+10xy-3x²=0．
（4y-x）（2y+3x）=0，
∴x=4y或x=-

2

3

y．
∵x＞0，y＞0，
∴x=-

2

3

y（舍去），
∴x=4y．
∴20y²-20（4y）²+441=0，
∴y²=

147

100

，

147

100

+

3969

100

=AC²，
∴AC=

7

5

21

．
答：△ABC的邊長為

7

5

21

．

點評：本題考查了勾股定理的運用，等邊三角形的判定及性質的運用，列二元二次方程組解實際問題的運用及二元二次方程組的解法的運用，直角三角形的性質的運用，解答時靈活運用勾股定理建立方程是關鍵．