Question

以定線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點P，連接PD，在BA的延長線上取點F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點M在AD上（AM＞MD），如圖所示．
（1）求證：M是線段AD的黃金分割點．
（2）如果AB=，求AM的長．
（3）作PN⊥PD交BC于N連ND．△BPN與△PDN是否相似．若相似，證明你的結論；若不相似，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：設PA=a，
∵P是AB的中點，
∴AB=2AP=2a，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠PAD=90°，AD=AB=2a，
在Rt△PAD中，PD==a，
∵PF=PD=a，
∴FA=PF-PA=a-a=（-1）a，
∵四邊形AMEF是正方形，
∴AM=AF=（-1）a，
∴，
∴M是線段AD的黃金分割點．

（2）解：由（1）知：PA=AB=，
∴AM=（-1）•PA=（-1）×=2；

（3）解：△BPN與△PDN相似．
理由：∵PN⊥PD，
∴∠1+∠2=90°，∠DPN=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠ADC=∠PAD=90°，AD=AB=BC=CD，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
∴△APD∽△BNP，
∴，
∵AP=AB，
∴BN=BC，
設BN=x，則CN=3x，AD=AB=BC=CD=4x，AP=BP=2x，
∴在Rt△PAD中，PD==x，
同理：PN=x，
∴，
∴△BPN∽△PDN．
分析：（1）首先設PA=a，由正方形的性質與勾股定理，即可求得PD的長，又由PF=PD，即可求得FA的長，根據正方形的四邊都相等，即可求得AM的值，再求AM與AD的比值，即可證得答案的正確性；
（2）根據（1）中的知識，求得PA的值，代入求解即可求得答案；
（3）首先利用有兩角對應相等的三角形相似，證得△APD∽△BNP，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得
2BN=PB，設BN=x，利用勾股定理求得PN與PD的長，即可求得，由對應邊成比例且夾角相等的三角形相似，即可證得△BPN∽△PDN．
點評：此題考查了正方形的性質，黃金分割的知識以及相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，難度適中，注意數形結合思想的應用．