Question

如圖，已知二次函數圖象的頂點坐標為（2，0），直線y=x+1與二次函數的圖象交于A，B兩點，其中點A在y軸上．
（1）二次函數的解析式為y=______；
（2）證明：點（-m，2m-1）不在（1）中所求的二次函數的圖象上；
（3）若C為線段AB的中點，過C點作CE⊥x軸于E點，CE與二次函數的圖象交于D點．
①y軸上存在點K，使以K，A，D，C為頂點的四邊形是平行四邊形，則K點的坐標是______；
②二次函數的圖象上是否存在點p，使得S_三角形POE=2S_三角形ABD？求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由二次函數圖象的頂點坐標為（2，0），故根據拋物線的頂點式寫出拋物線解析式．
（2）把該點代入拋物線上，得到m的一元二次方程，求根的判別式．
（3）由直線y=x+1與二次函數的圖象交于A，B兩點，解得A、B兩點坐標，求出D點坐標，
①設K點坐標（0，a），使K，A，D，C為頂點的四邊形是平行四邊形，則KA=DC，且BA∥DK，進而求出K點的坐標．
②過點B作BF⊥x軸于F，則BF∥CE∥AO，又C為AB中點，求得B點坐標，可得到S_三角形ABD=2S_三角形ACD，設P（x，x²-x+1），由題意可以解出x．
解答：（1）解：頂點坐標為（2，0），可設解析式為：y=a（x-2）²，
把x=0代入y=x+1得y=1，則A（0，1）
再代入y=a（x-2）²得：1=4a，則a=．
故二次函數的解析式為：y=（x-2）²=x²-x+1．

（2）證明：設點（-m，2m-1）在二次函數y=x²-x+1的圖象上，
則有：2m-1=m²+m+1，
整理得m²-4m+8=0，
∵△=（-4）²-4×8=-16＜0
∴原方程無解，
∴點（-m，2m-1）不在二次函數y=x²-x+1的圖象上．

（3）解：①K（0，-3）或（0，5）；
②二次函數的圖象上存在點P，使得S_△POE=2S_△ABD，
如圖，過點B作BF⊥x軸于F，則BF∥CE∥AO，又C為AB中點，
∴OE=EF，由于y=x²-x+1和y=x+1可求得點B（8，9）
∴E（4，0），D（4，1），C（4，5），
∴AD∥x軸，
∴S_△ABD=2S_△ACD=2××4×4=16．
設P（x，x²-x+1），
由題意有：S_△POE=×4（-x+1）=x²-2x+2，
∵S_△POE=2S_△ABD
∴x²-2x+2=32
解得x=-6或x=10，
當x=-6時，y=×36+6+1=16，
當x=10時，y=×100-10+1=16，
∴存在點P（-6，16）和P（10，16），使得S_△POE=2S_△ABD，得到
△POE的邊OE上的高為16，即點P的縱坐標為16，
然后由16=x²-x+1可求出P點坐標．
點評：本題二次函數的綜合題，要求會求二次函數的解析式和兩圖象的交點，會判斷點是否在直線上，本題步驟有點多，做題需要細心．