Question

如圖，△ABC中，內切圓I與AB，BC，CA分別切于F，D，E，連接BI，CI，再連接FD，ED，
（1）若∠A=40°，求∠BIC與∠FDE的度數．
（2）若∠BIC=α；∠FDE=β，試猜想α，β的關系，并證明你的論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓I是△ABC的內切圓求出∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB），求出∠ABC+∠ACB的度數，求出∠IBC+∠ICB即可；連接IF、IE，求出∠FIE，即可求出∠FDE；
（2）由（1）得出∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB），∠FDE=180°-2∠A，根據三角形的內角和定理求出∠BIC=90°+∠A，代入即可求出答案．
解答：解：（1）∵圓I是△ABC的內切圓，
∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，
∴∠IBC+∠ICB=70°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=110°，
連接IF、IE，

∵圓I是△ABC的內切圓，
∴∠IFA=∠IEA=90°，
∵∠A=40°，
∴∠FIE=360°-∠IFA-∠IEA-∠A=140°，
∴∠EDF=∠EIF=70°，
答：∠BIC=110°，∠FDE=70°．

（2）解：α=180°-β．
理由如下：由圓周角定理得：∠FIE=2∠FDE，
由（1）知：2∠FDE=180°-∠A，
即∠A=180°-2∠FDE，
∴∠A=180°-∠EIF，
由（1）知：2∠FDE=180°-∠A，
∴∠A=180°-2∠FDE=180°-2β，
∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（∠ABC+∠ACB），
=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，
∴∠BIC=α=90°+（180°-2β），
即α=180°-β．
點評：本題主要考查對三角形的內角和定理，三角形的內切圓與內心，圓周角定理等知識點的理解和掌握，能熟練地運用性質進行推理是解此題的關鍵．