Question

如圖．在△ABC中．D是AB的中點．E是CD的中點．過點C作CF∥AB交AE的延長線于點F．連接BF．
（1）求證：DB=CF；
（2）在△ABC中添加一個條件：______，使四邊形BDCF為______（填：矩形或菱形）．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出∠EAD=∠CFE，根據AAS證△AED≌△FEC，推出AD=CF，根據AD=BD即可求出答案；
（2）根據等腰三角形性質求出∠CDB=90°，根據平行四邊形的判定推出平行四邊形BDCF，即可推出四邊形是矩形．
解答：（1）證明：∵CF∥AB，
∴∠EAD=∠CFE，
∵E是CD的中點，
∴CE=DE，
∵在△AED和△FEC中
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AD=CF，
∵D是AB的中點，
∴AD=BD，
∴BD=CF．

（2）解：在△ABC中添加一個條件：AC=BC，使四邊形BDCF為矩形，
理由是：∵BD=CF，CF∥AB，
∴四邊形BDCF是平行四邊形，
∵AC=BC，D為AB中點，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴平行四邊形BDCF是矩形，
故答案為：AC=BC，矩形．
點評：本題考查了矩形、平行四邊形的判定，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，平行線的性質，主要考查學生能否熟練地運用性質進行推理，題型較好，難度適中．