Question

附加題：（成績只作參考，不計入總分）
如圖：正方形ABCD中內有一E，連接AE，BE，使∠EAB=∠EBA=15°，
證明：（1）DE=CE；
（2）△CDE是正三角形．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∵∠EAB=∠EBA=15°，
∴∠DAE=∠EBC=75°，AE=BE，
∴△AED≌△BEC，
∴DE=CE．

（2）以AB為邊作正三角形ABM，連接ME，如圖所示：
∵∠EAB=∠EBA=15°，
∴AE=BE，
又∠EAM=∠EBM=75°，
∵ME=ME，
∴△MAE≌△MBE，
∴∠MEB=∠MEA=75°，
∴EM=MB=AB，
∵∠EBC=75°，
∴∠CBE=∠EBM，
∴△BME≌△BCE，
∴CE=ME=CB=DC，
同理：DE=EM=CB=DC，
∴CE=DE=CD，
∴△CDE是正三角形．
分析：（1）由正方形的性質可以得出∠DAB=∠ABC=90°，由∠EAB=∠EBA=15°，可以得出∠DAE=∠EBC=75°及AE=BE，從而可以證明△AED≌△BEC，然后就可以得出結論．
（2）以AB為邊作正三角形ABM，連接ME，可以得到∠EAM=∠EBM=75°，利用三角形全等可以得出∠AEM=∠BEM=75°，可以得出ME=MB，再證明△BME≌△BCE，可以得出CE=ME，得到EC=BC=CD．從而得出結論．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定及性質，等邊三角形的判定和等腰三角形的性質的運用．