Question

20．如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸上，點B的坐標(biāo)為（2，3），雙曲線y=-$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過的中點D，且與AB交于點E，連接DE
（1）求△BDE的面積
（2）若點F是OC邊上一點，且△FBC∽△DEB，求點F坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先利用D點為BC的中點得到D（1，3），再利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{x}$，接著利用E點的橫坐標(biāo)為2得到E（2，$\frac{3}{2}$），然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比可求出CF，然后計算出OF的長，從而得到點F坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵D點為BC的中點，B（2，3），
∴D（1，3），
把D（1，3）代入y=$\frac{k}{x}$得k=1×3=3，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{x}$，
∵AB⊥x，
∴E點的橫坐標(biāo)為2，
當(dāng)x=2時，y=$\frac{3}{x}$=$\frac{3}{2}$，即E（2，$\frac{3}{2}$），
∴△BDE的面積=$\frac{1}{2}$×（2-1）×（3-$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{4}$；
（2）∵△FBC∽△DEB，
∴$\frac{CF}{BD}$=$\frac{BC}{BE}$，即$\frac{CF}{1}$=$\frac{2}{\frac{3}{2}}$，解得CF=$\frac{4}{3}$，
∴OF=OC-CF=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴點F坐標(biāo)為（0，$\frac{2}{3}$）．

點評 本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．也考查了反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征．