Question

如圖，在△ABC中，∠A=60°，O，I，H分別是它的外心，內(nèi)心，垂心．試比較△ABC的外接圓與△IOH的外接圓的大小，證明你的論斷．

Answer 1

解：△ABC的外接圓與△IOH的外接圓的大小相等．
理由：作O關(guān)于BC的對稱點O′，連接BO、BI、BH、BO′、CO、CI、CH、CO′，
（1）由三角形外心、內(nèi)心、垂心的張角公式可知，
∠BOC=2∠A=120°，
∠BIC=90°+∠A=120°，∠BHC=180°-∠A=120°，
則B、C、H、I、O五點共圓，即△IOH的外接圓與△OBC的外接圓是同一個圓；

（2）由軸對稱可知∠BO′C=∠BOC=120°，
∠A+∠BO′C=180°，
則A、B、O′、C四點共圓，即△O′BC的外接圓與△ABC的外接圓是同一個圓；

（3）由對稱性可證△OBC≌△O′BC，即△OBC的外接圓與△O′BC的外接圓相等；
由（1）-（3）得△ABC的外接圓與△IOH的外接圓相等．
分析：（1）由三角形外心、內(nèi)心、垂心的張角公式可求∠BOC=∠BIC=∠BHC=120°，可證B、C、H、I、O五點共圓，即△IOH的外接圓與△OBC的外接圓是同一個圓；
（2）由軸對稱可知∠BO′C=∠BOC=120°，則∠A+∠BO′C=180°，可證A、B、O′、C四點共圓，即△O′BC的外接圓與△ABC的外接圓是同一個圓；
（3）由對稱性可證△OBC≌△O′BC，即△OBC的外接圓與△O′BC的外接圓相等；
綜合（1）（2）（3）可證本題結(jié)論．
點評：本題考查了三角形外心、內(nèi)心、垂心的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)題意找出四點共圓，五點共圓，判斷三角形共圓，利用“傳遞”的方法證明本題結(jié)論．