Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）經過點D（2，4），與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，4），連接AC，CD，BC， 其且AC=5．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖②，點P是拋物線上的一個動點，過點P作x軸的垂線l，l分別交x軸于點E，交直線AC于點M．設點P的橫坐標為m．當0<m≤2時，過點M作MG∥BC，MG交x軸于點G，連接GC，則m為何值時，△GMC的面積取得最大值，并求出這個最大值；

（3）當-1<m≤2時，是否存在實數m，使得以P，C，M為頂點的三角形和△AEM相似？若存在，求出相應m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）當m=時，S最大，即S最大=2；（3）2或

【解析】

（1）先通過勾股定理求的點A的坐標，把A、C、D三點坐標代入即可求得拋物線的解析式；

（2）由A、C坐標可求得直線AC解析式，再用m表示出點M坐標，表示出ME，再由△BCO∽△GME可表示出GE，求得OG，再利用面積的和差可得到△GMC的面積，利用二次函數的性質可求得其最大值；

（3）分∠CPM＝90°和∠PCM＝90°兩種情況，當∠CPM＝90°時，可得PC∥x軸，容易求得P點坐標和m的值；當∠PCM＝90°時，設PC交x軸于點F，可利用相似三角形的性質先求得F點坐標，可求得直線CF的解析式，再聯立拋物線解析式可求得P點坐標和相應的m的值．

解（1）∵點C（0，4），

∴OC＝4，

∵AC＝5，

∴在Rt△AOC中，∠AOC＝90°

OA＝

∴ A（3，0）

將A（3，0）、C（0，4）D（2，4）代入拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中

得 ，

解得，

∴拋物線解析式為y＝－x2＋x＋4；

（2）由A（3，0），C（0，4）可得直線AC解析式為y＝－x＋4，

∴M坐標為（m，－m＋4），

∵MG∥BC，

∴∠CBO＝∠MGE，且∠COB＝∠MEG＝90°，

∴△BCO∽△GME，

∴，即，

∴GE＝－m＋1，

∴OG＝OE－GE＝m－1

∴

，

∴當m＝時，S最大，即S最大＝2；

（3）根據題意可知△AEM是直角三角形，而△MPC中，∠PMC＝∠AME為銳角，

∴△PCM的直角頂點可能是P或C，

第一種情況：當∠CMPM＝90°時，如圖，

則CP∥x軸，此時點P與點D重合，

∴點P（2，4），此時m＝2；

第二種情況：當∠PCM＝90°時，如圖，

如圖，延長PC交x軸于點F，由△FCA∽△COA，得，

∴AF＝，

∴OF＝，

∴F（－，0），

∴直線CF的解析式為y＝x＋4，

聯立直線CF和拋物線解析式可得，

解得，，

∴P坐標為（，），此時m＝；

綜上可知存在滿足條件的實數m，其值為2或