Question

如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
（1）證明AE=AF；
（2）若△ABC面積是36cm²，AB=10cm，AC=8cm，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）由在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，易證得∠ADE=∠ADF，然后由角平分線的性質，可證得AE=AF；
（2）由在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，可證得DE=DF，又由S_△ABC=S_△ADB+S_△ACD=

1

2

AB•DE+

1

2

AC•DF，即可求得DE的長．

解答：（1）證明：∵在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，
∴∠ADE=∠ADF，
∴AE=AF；

（2）解：∵在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵△ABC面積是36cm²，AB=10cm，AC=8cm，
∴S_△ABC=S_△ADB+S_△ACD=

1

2

AB•DE+

1

2

AC•DF=

1

2

DE•（AB+AC）=

1

2

×DE×（10+8）=9DE=36，
∴DE=4（cm）．

點評：此題考查了角平分線的性質．此題難度適中，注意掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等定理的應用，注意數形結合思想與轉化思想的應用．