Question

如圖（1），在平面直角坐標系中，矩形ABCO，B點坐標為（4，3），拋物線y＝x²＋bx＋c經過矩形ABCO的頂點B、C，D為BC的中點，直線AD與y軸交于E點，與拋物線y＝x²＋bx＋c交于第四象限的F點．

（1）求該拋物線解析式與F點坐標；

（2）如圖，動點P從點C出發，沿線段CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動；

同時，動點M從點A出發，沿線段AE以每秒個單位長度的速度向終點E運動．過

點P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH．設點P的運動時間為t秒．

①問EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果沒有，請說明理由．

②若△PMH是等腰三角形，請直接寫出此時t的值．

 

Answer 1

解：（1）∵矩形ABCO，B點坐標為（4，3）

∴C點坐標為（0，3）

∵拋物線y＝x²＋bx＋c經過矩形ABCO的頂點B、C

∴ ∴ ∴y＝x²＋2x＋3

設直線AD的解析式為

∵A(4，0)、D(2，3)  ∴ ∴

∴ 

∵F點在第四象限，∴F(6，-3)

（2）①∵E(0，6)   ∴CE=CO

連接CF交x軸于H′，過H′作x軸的垂線交BC于P′，當P

運動到P′，當H運動到H′時， EP+PH+HF的值最小.

設直線CF的解析式為

∵C(0，3)、F(6，-3) ∴ ∴ ∴

當y=0時，x=3，∴H′(3，0)  ∴CP=3   ∴t=3

②如圖1，過M作MN⊥OA交OA于N

∵△AMN∽△AEO，∴

∴  ∴AN=t，MN=

I．如圖1，當PM=HM時，M在PH的垂直平分線上，

∴MN=PH    ∴MN=   ∴t=1

II．如圖2，當PH=HM時，MH=3，MN=，

HN=OA-AN-OH=4-2t 在Rt△HMN中，

，，

  （舍去），

III．如圖3．如圖4，當PH=PM時，PM=3， MT=，PT=BC-CP-BT=在Rt△PMT中，，

 ，25t²-100t+64=0  ，

∴，，1，