Question

已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于點E，且CD=AC，DF∥BC，分別與AB、AC交于點G、F．
（1）求證：GE=GF；
（2）若BD=1，求DF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知條件易證明Rt△AEC≌Rt△DFC，得CE=CF，則DE=AF，從而進一步證明Rt△AFG≌Rt△DEG，就可得到GE=GF；
（2）根據直角三角形的性質可以得到CE=AC，則CE=CD，即AB是CE的垂直平分線，則BC=BD=1．再根據直角三角形的性質進一步求得AB、BE的長，則AE=AB-BE，結合（1）中的全等三角形，知DF=AE．
解答：（1）證明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，
∴∠CFD=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=90°．
在Rt△AEC和Rt△DFC中，∠AEC=∠CFD=90°，∠ACE=∠DCF，DC=AC，
∴Rt△AEC≌Rt△DFC．
∴CE=CF．
∴DE=AF．
而∠AGF=∠DGE，∠AFG=∠DEG=90°，
∴Rt△AFG≌Rt△DEG．
∴GF=GE．

（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，
∴CE=AC=CD．
∴CE=ED．
∴BC=BD=1．
又∵∠ECB+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°，
∴∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，
∴BE=BC=BD=．
在直角三角形ABC中，∠A=30°，
則AB=2BC=2．
則AE=AB-BE=．
∵Rt△AEC≌Rt△DFC，
∴DF=AE=．
點評：此題綜合運用了全等三角形的判定和性質、直角三角形的性質以及線段垂直平分線的性質；用到的知識點為：直角三角形中30°所對的直角邊是斜邊的一半．