Question

如圖，⊙O的直徑為10，弦AB的長為6，M是弦AB上的一動點，則線段的OM的長的取值范圍是（　　）

• A、3≤OM≤5
• B、4≤OM≤5
• C、3＜OM＜5
• D、4＜OM＜5

Answer 1

分析：由垂線段最短可知當OM⊥AB時最短，當OM是半徑時最長．根據垂徑定理求最短長度．

解答：解：如圖，連接OA，作OM⊥AB于M，
∵⊙O的直徑為10，
∴半徑為5，
∴OM的最大值為5，
∵OM⊥AB與M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中，OM=

OA2-AM2

=

25-9

=

16

=4；
此時OM最短，
當OM是半徑時最長，OM=5．
所以OM長的取值范圍是4≤OM≤5．
故選B．

點評：本題考查了垂徑定理、勾股定理，解決本題的關鍵是確定OM的最小值，所以求OM的范圍問題又被轉化為求弦的弦心距問題，而解決與弦有關的問題時，往往需構造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r²=d²+（

a

2

）²成立，知道這三個量中的任意兩個，就可以求出另外一個．