Question

21、已知：如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DF⊥AC于點F，交BA的延長線于點E．求證：
（1）BD=CD；
（2）DE是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）連接AD，根據直徑所對的圓周角是直角得到AD⊥BC，然后利用等腰三角形底邊上的高是底邊上的中線可以證明BD=CD．
（2）連接OD，利用等邊對等角和等量代換得到∠C=∠ODB，根據同位角相等，兩直線平行，得到OD∥AC，又DF⊥AC，所以OD⊥
DF，根據切線的判斷定理可以得到DE是⊙O的切線．

解答：證明：（1）連接AD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD．

（2）連接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DE是⊙O的切線．

點評：本題考查的是切線的判定，（1）利用圓周角的性質得到AD⊥BC，然后用等腰三角形的性質證明．（2）根據題意證明∠ODE=
90°，利用切線的判斷定理證明DE是⊙O的切線．