Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=4，點O是AC的中點，過點O的直線l從與AC重合的位置開始，繞點O作逆時針旋轉，交AB邊于點D，過點C作CE∥AB交直線l于E，設直線l的旋轉角為α．
（1）當α=______時，ED=BC（但ED不平行于BC），此時AD=______；
（2）當α=______時，ED⊥AB，此時AD=______；
（3）試判斷EDBC能否為菱形？若能，寫出此時α的大小，并證明；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先判定四邊形BCDE是等腰梯形，再根據等腰梯形同一底上的兩底角相等求出∠BDE=∠B，根據直角三角形兩銳角互余求出∠A=30°，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式進行計算即可得解，再證明△AOD和△COE全等，根據全等三角形對應邊相等可得OD=OE，然后求解即可；
（2）在Rt△AOD中，利用直角三角形兩銳角互余列式求解即可得到α值，解直角三角形求出AC的長，再根據中點的定義求出AO，然后利用∠A的余弦值求解即可得到AD的長；
（3）存在點D為AB的中點時，四邊形EDBC為菱形．再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半BC=BD=AB，然后根據菱形的判定方法即可判定再根據兩直線平行，同位角相等可得α=∠ACB．
解答：解：（1）∵CE∥AB，ED=BC（但ED不平行于BC），
∴四邊形BCDE是等腰梯形，
∴∠BDE=∠B，
在Rt△ABC中，∠A=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴α=∠BDE-∠A=60°-30°=30°，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠OCE，
∵點O是AC的中點，
∴AO=CO，
在△AOD和△COE中，，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴OD=OE，
∵α=∠A=30°，
∴AD=OD，
∴AD=DE=BC=×4=2；

（2）∵ED⊥AB，
∴α=90°-∠A=90°-30°=60°，
在△ABC中，∵∠B=60°，BC=4，
∴AC=BC•tan60°=4×=4，
∵點O是AC的中點，
∴AO=AC=×4=2，
∴AD=AC•cos30°=2×=3；

（3）存在點D為AB的中點時，四邊形EDBC為菱形．
此時，BD=AB，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=AB，
∴BD=BC，
∵點O是AC的中點，點D是AB的中點，
∴DE∥BC，
又∵CE∥AB，
∴四邊形EDBC是平行四邊形，
∴平行四邊形EDBC是菱形，
∴α=∠AOD=∠ABC=90°，
即旋轉角α=90°．
點評：本題考查了旋轉的性質，解直角三角形，菱形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，三角形的中位線定理，綜合性較強，但難度不大．