Question

如圖，已知點M，N，P，Q分別是凸四邊形ABCD四邊的中點，在下列4個命題中：
①四邊形MNPQ是梯形；
②當四邊形ABCD的對角線相等時，四邊形MNPQ是菱形；
③當四邊形ABCD的對角線垂直時，四邊形MNPQ是矩形；
④當四邊形ABCD的對角線相等且垂直時，四邊形MNPQ是正方形．
正確的有（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：連接AC、BD，根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得MN∥AC，MN=AC，PQ∥AC，PQ=AC，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形MNPQ是平行四邊形，再根據對角線的情況對②③④小題進行判定即可得解．
解答：解：如圖，連接AC、BD，
∵點M，N，P，Q分別是凸四邊形ABCD四邊的中點，
∴MN∥AC，MN=AC，PQ∥AC，PQ=AC，
∴MN∥PQ，MN=PQ，
∴四邊形MNPQ是平行四邊形，故①小題錯誤；
當四邊形ABCD的對角線相等時，同理可得NP=MQ=BD，
所以，MN=NP=PQ=MQ，
所以，四邊形MNPQ是菱形，故②小題正確；
當四邊形ABCD的對角線垂直時，可以證明∠M=90°，
所以，四邊形MNPQ是矩形，故③小題正確；
當四邊形ABCD的對角線相等且垂直時，四邊形MNPQ既是菱形也是矩形，所以是正方形，故④小題正確，
綜上所述，正確的是②③④共3個．
故選C．
點評：本題考查了三角形的中位線定理，菱形的判定，矩形的判定以及正方形的判定，連接對角線，利用三角形的中位線定理得到四邊形MNPQ的邊的關系是解題的關鍵．