Question

觀察下列式子：
3²+4²=5²；8²+6²=10²；15²+8²=17²；24²+10²=26²；…
（1）找出規律，并根據此規律寫出接下來第5個式子：

 

；
（2）寫出這一規律：

 

；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=39999，BC=400，你能快速求出AB嗎？

Answer 1

分析：（1）等式的左邊第一個加數是從2開始連續的自然數的平方與1差的平方，第二個加數是連續偶數的平方，計算結果是從2開始連續的自然數的平方與1和的平方；
（2）由（1）直接寫出規律；
（3）寫成（2）中的形式，可解決問題．

解答：解：（1）3²+4²=（2²-1）²+（2×2）²=5²=（2²+1）²，
8²+6²=（3²-1）²+（2×3）²=10²=（3²+1）²，
15²+8²=（4²-1）²+（2×4）²=17²=（4²+1）²，
24²+10²=（5²-1）²+（2×5）²=26²=（5²+1）²，
…
接下來第5個式子為：（6²-1）²+（2×7）²=（6²+1）²，
即35²+12²=37²；

（2）這一規律為：當n≥2時，（n²-1）²+（2n）²=（n²+1）²；

（3）由勾股定理得：AC²+BC²=AB²，
即39999²+400²=（200²-1）²+（2×200）²=（200²+1）²，
所以AB=

(2002+1)2

=40001．

點評：此題考查的規律為：當n≥2時，（n²-1）²+（2n）²=（n²+1）²．