Question

如圖所示，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1個正方形需要4個小正方形，拼第2個正方形需要9個小正方形…，按照這樣的方法拼下去：
（1）第9個大正方形含有多少個小正方形？
（2）第n個大正方形比第（n-1）個大正方形多幾個小正方形？
（3）若第m個大正方形比（m-1）個大正方形多17個小正方形，求m的值．

Answer 1

解：（1）第1個正方形需要4個小正方形，4=2²，
第2個正方形需要9個小正方形，9=3²，
第3個正方形需要16個小正方形，16=4²，
…，
第9個正方形需要小正方形的個數為：（9+1）²=100個；

（2）根據（1）中規律，第n個大正方形需要：（n+1）²，第（n-1）個大正方形需要（n-1+1）²=n²個小正方形，
所以，（n+1）²-n²=2n+1；

（3）∵第m個大正方形比（m-1）個大正方形多17個小正方形，
∴2m+1=17，
解得m=8．
分析：（1）觀察不難發現，所需要的小正方形的個數都是平方數，然后根據相應的序數與正方形的個數的關系找出規律解答即可；
（2）根據變化規律寫出第n個大正方形中小正方形個數的表達式與第（n-1）個大正方形中小正方形的個數的表達式，相減，再利用完全平方公式整理即可得解；
（3）根據題意列出方程求解即可．
點評：本題是對圖形變化規律的考查，仔細觀察圖形，得出各個圖形中小正方形的個數是平方數是解題的關鍵．