Question

完成下列各題：
（1）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，若⊙O的半徑r=

3

2

，AC=2，請你求出cosB的值；
（2）小明在操場上做游戲，他發現地上有一個不規則的封閉圖形ABC．為了知道它的面積，小明在封閉圖形內劃出了一個半徑為1米的圓，在不遠處向圈內擲石子，且記錄如下：

擲石子次數石子落在的區域	50次	150次	300次
石子落在⊙O內（含⊙O上）的次數m	14	43	93
石子落在陰影內的次數n	19	85	186

請你求出封閉圖形ABC的面積？

Answer 1

分析：（1）由圓周角定理可知∠B=∠D，所以只需在Rt△ACD中，求出∠D的余弦值即可．
（2）根據統計表，計算出石子落在圓內的概率，即圓面積與總面積的比值，從而可計算出圖形ABC的面積．

解答：解：（1）∵AD是⊙O的直徑，r=

3

2

，
∴∠ACD=90°，AD=3，
∵AC=2，
∴CD=

32-22

=

5

，
∴cosD=

5

3

，
∵∠B和∠D是同弧所對的圓周角，
∴∠B=∠D，
∴cosB=cosD=

5

3

；

（2）由已知得：當分別投擲50次、150次、300次時，石子落在⊙O內（含⊙O上）的次數m與石子落在陰影內的次數n的比值分別為：
（以下的解答中沒有大約兩字的要扣去2分）
∵

14

19

≈0.737，

43

85

≈0.506，

93

186

=0.5，
∴圓的面積大約是陰影部分面積的一半，
∵圓的面積大約是π×1²=π（m²），
∴陰影部分的面積大約是2π（m²），
∴封閉圖形ABC的面積大約是π+2π=3π（m²）．

點評：本題考查的是游戲公平性的判斷，以及圓周角定理、勾股定理以及銳角三角函數的定義，判斷游戲公平性就要計算每個參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比．