Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC．
求證：（1）BC平分∠PBD；
（2）BC²=AB•BD．

Answer 1

證明：（1）連接OC．
∵PD切⊙O于點C，
又∵BD⊥PD，
∴OC∥BD．
∴∠1=∠3．
又∵OC=OB，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠2，即BC平分∠PBD．

（2）連接AC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
又∵BD⊥PD，
∴∠ACB=∠CDB=90°
又∵∠1=∠2，
∴△ABC∽△CBD；
∴，∴BC²=AB•BD．
分析：（1）連接OC．可發現∠OCB和∠DBC同為∠DCB的余角，而∠OCB=∠OBC，由此可得∠OBC=∠DBC，即BC平分∠PBD；
（2）連接AC．證明△ABC∽△CBD即可．
點評：此題綜合考查了平行線、等腰三角形、相似三角形和圓周角的性質．