Question

3．如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與A、B重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形AB-CD的邊AB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”，解決問題：
（1）如圖①，∠A=∠B=∠DEC=45°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說明理由：
（2）如圖②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖②中畫出矩形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)；
（3）如圖③，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的
一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試證明$\frac{AB}{BC}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）要證明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)，只要證明有一對(duì)三角形相似就行，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解；
（2）以CD為直徑畫弧，該弧與AB的交點(diǎn)即為所求；
（3）由點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可求得∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形性質(zhì)可得AB與BC邊之間的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）∵∠A=∠B=∠DEC=45°，
∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°
∴∠ADE=∠CEB，
在△ADE和△BEC中，
∠A=∠B，∠ADE=∠BEC，
∴△ADE∽△BEC，
∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)；

（2）如圖所示，點(diǎn)E₁和E₂是四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)，
理由：∵AD=2，AE₁=1，BE₁=4，BC=2，DE₁=$\sqrt{5}$，CE₁=$2\sqrt{5}$，CD=5，
∴AE₁：AD：DE₁=1：2：$\sqrt{5}$，
BC：BE₁：CE₁=1：2：$\sqrt{5}$，
DE₁：CE₁：CD=1：2：$\sqrt{5}$，
∴△DAE₁∽△E₁BC∽△CE₁D，
∴點(diǎn)E₁是四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)，
同理可得，點(diǎn)E₂是四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)；

（3）∵點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折疊可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM=∠BCE，CE=CD=AB，
∴∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=$\frac{1}{3}$×90°=30°，
∴在Rt△BCE中，cos∠BCE=$\frac{BC}{CE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{AB}{BC}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似三角形綜合題，主要考查了相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解強(qiáng)相似點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．