Question

27、已知：如圖，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點E，BM交CN于點F．
（1）求證：AN=BM；
（2）求證：△CEF為等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）由等邊三角形可得其對應線段相等，對應角相等，進而可由SAS得到△CAN≌△MCB，結論得證；
（2）由（1）中的全等可得∠CAN=∠MCB，進而得出∠MCF=∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE=CF，又ECF=60°，所以△CEF為等邊三角形．

解答：證明（1）：∵△ACM，△CBN是等邊三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，
在△CAN和△MCB中，
AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，
∴△CAN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．
（2）∵△CAN≌△MCB，
∴∠CAN=∠CMB，
又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠MCF=∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE=CF，∴△CEF為等腰三角形，
又∵∠ECF=60°，∴△CEF為等邊三角形．

點評：本題主要考查了全等三角行的判定及性質以及等邊三角形的判定問題，能夠掌握并熟練運用．