Question

（本題滿分14分，第(1)小題4分，第(2)小題①6分、第(2)小題②4分）
直角三角板ABC中，∠A=30°，BC＝1.將其繞直角頂點C逆時針旋轉一個角（且≠ 90°），得到Rt△，
（1）如圖9，當邊經過點B時，求旋轉角的度數；
（2）在三角板旋轉的過程中，邊與AB所在直線交于點D，過點 D作DE∥交邊于點E，聯結BE.
①當時，設，，求與之間的函數解析式及定義域；
②當時，求的長.

Answer 1

解：（1）在Rt△中，∵∠A=30°，
∴．………………………………………………………（1分）
由旋轉可知：，，
∴△為等邊三角形．……………（2分）
∴＝．……………（1分）
（2）① 當時，點D在AB邊上（如圖）.

∵ DE∥，
∴ .．…………………………………………………（1分）
由旋轉性質可知，CA =，CB=， ∠ACD=∠BCE.
∴ ，．…………………………………………………（1分）
∴ .
∴ △CAD∽△CBE. ．………………………………………（1分）
∴.
∵∠A=30°
∴.……………………………………………（1分）
∴（0﹤﹤2）…………………………………………（2分）
②當時，點D在AB邊上
AD=x，，∠DBE=90°.
此時，.
當S =時，.
整理，得 .
解得 ，即AD="1." …………………………………（2分）
當時，點D在AB的延長線上（如圖）
.
仍設AD=x，則，∠DBE=90°..
.
當S =時，.
整理，得 .
解得 ，（負值，舍去）.
即.…………………………………………………（2分）
綜上所述：AD=1或.

略