Question

已知關于x的一元二次方程x²=2（1-m）x-m²兩實數根為x₁、x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）設y=x₁+x₂+x₁x₂，求m為何值時，y的值最小，最小值是多少？
（3）若m=-1，求代數式的值．（提示：若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）兩實數根為x₁、x₂，則x₁+x₂=-，x₁x₂=）

Answer 1

解：（1）∵一元二次方程x²=2（1-m）x-m²，
∴x²-2（1-m）x+m²=0，
∵△=b²-4ac≥0，
∴[2（1-m）]²-4m²=4-8m≥0，
∴m≤，

（2）∵一元二次方程x²=2（1-m）x-m²，
∴x₁+x₂=2-2m，x₁x₂=m²，
∴y=x₁+x₂+x₁x₂=2-2m+m²，
∵此二次函數圖象開口向上，y有最小值，
∴=-=1，
∴當m=1時，y有最小值，
∴y=2-2m+m²=2-2+1=1，

（3）∵x₁+x₂=2-2m，x₁x₂=m²，m=-1，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
∴原式==，
==．
分析：（1）由根的判別式大于等于零，即可推出m的取值范圍；
（2）由根與系數的關系即可推出x₁+x₂，x₁x₂的值，推出y關于m的二次函數表達式，即可推出m為何值時，y有最小值；
（3）根據根與系數的關系，推出x₁+x₂，x₁x₂的值，然后通過對代數式的化簡即可推出代數式的值．
點評：本題主要考查根的判別式、根與系數的關系，二次函數的頂點坐標公式，關鍵在于正確運用相關的性質，認真的進行計算．