Question

已知：矩形OABC中，A（6，0），B（6，4），F為AB邊的中點，直線EF交邊BC于E，且sin∠BEF=

5

5

，P為線段EF上一動點，PM⊥OA于M，PN⊥OC于N．
（1）求直線EF的函數解析式并注明自變量取值范圍；
（2）求矩形ONPM的面積的最大值及此時點P的坐標；
（3）矩形ONPM、矩形OABC有可能相似嗎？若相似，求出此時點P的坐標；若不相似，請簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據A（6，0），B（6，4）兩點的坐標，進而可以得出F點的坐標，再利用sin∠BEF=

5

5

，即可得出EF的長，進而得出BE的長，即可得出E點坐標，進而求出直線EF的函數解析式；
（2）設矩形ONPM的面積為S，表示出OM，NO，再利用二次函數最值求出即可；
（3）利用矩形ONPM、矩形OABC相似時，對應邊比值相等求出即可．

解答：解：（1）∵F為AB中點，AB=4，
∴AF=2，BF=2，F（6，2），
在Rt△BEF中，EF=

BF

sin∠BEF

=

2

5 5

=2

5

，
∴BE=

EF2-BF2

=

(2 5 )2-22

=4，
∴CE=6-4=2，
∴E（2，4），
設直線EF的函數解析式為y=kx+b，
把E（2，4）、F（6，2）分別代入
解得：k=-

1

2

，b=5，
∴直線EF的函數解析式為y=-

1

2

x+5（2≤x≤6）．

（2）設矩形ONPM的面積為S，
∵點P在直線y=-

1

2

x+5上，
∴OM=x，ON=y=-

1

2

x+5，
∴S=x(-

1

2

x+5)=-

1

2

(x-5)2+

25

2

，
∴矩形ONPM的面積S的最大值為

25

2

，
此時，x=5，點P的坐標為（5，

5

2

）．

（3）當矩形ONPM、矩形OABC相似時，
有

ON

OC

=

OM

OA

或

ON

OA

=

OM

OC

，
∴

- 1 2 x+5

4

=

x

6

或

- 1 2 x+5

6

=

x

4

，
∴x=

30

7

或x=

5

2

，且滿足2≤x≤6，
此時，點P的坐標為(

30

7

，

20

7

)或(

5

2

，

15

4

)．

點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式以及二次函數的最值和矩形的相似性質等知識，利用數形結合得出E，F點的坐標以及根據二次函數最值得出是解決問題的關鍵．