Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，﹣5）．有一寬度為1，長度足夠長的矩形（陰影部分）沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和點Q，交直線AC于點M和點N，交x軸于點E和點F．

（1）求拋物線的解析式及點A的坐標；

（2）當點M和N都在線段AC上時，連接MF，如果sin∠AMF＝，求點Q的坐標；

（3）在矩形的平移過程中，是否存在以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣5，A（﹣5，0）；（2）Q坐標（﹣4，﹣）；（3）存在，點M的坐標為（﹣2，﹣3）或（﹣2+，﹣3﹣）或（﹣2﹣，﹣3+）．

【解析】

（1）將點B的坐標、點C的坐標分別代入函數解析式求得b、c的值，結合拋物線解析式求得點A的坐標；

（2）作FG⊥AC于G，設點F坐標（m，0），根據sin∠AMF=，列出方程即可解決問題．

（3））①當MN是對角線時，設點F（m，0），由QN=PM，列出方程即可解決問題．②當MN為邊時，設點Q（m，m2+m-5）則點P（m+1，m2+m-6），代入拋物線解析式，解方程即可．

（1）∵拋物線上的點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，﹣5）

∴將其代入y═x2+bx+c，得，

解得b＝，c＝﹣5．

∴拋物線的解析式為y＝x2+x﹣5．

令y=0可得x=3或-5

∴點A的坐標是（﹣5，0）．

（2）作FG⊥AC于G，設點F坐標（m，0），

則AF＝m+5，AE＝EM＝m+6，FG＝（m+5），FM＝，

∵sin∠AMF＝，

∴，

∴，

整理得到2m2+19m+44＝0，

∴（m+4）（2m+11）＝0，

∴m＝﹣4或﹣5.5（舍棄），

∴點Q坐標（﹣4，﹣）．

（3）①當MN是對角線時，點M在y軸的右側，設點F（m，0），

∵直線AC解析式為y＝﹣x﹣5，

∴點N（m，﹣m﹣5），點M（m+1，﹣m﹣6），

∵QN＝PM，

∴﹣m﹣5﹣（m2+m﹣5）＝[（m+1）2+（m+1）﹣5]﹣（﹣m﹣6），

解得m＝﹣3+或﹣3﹣（舍棄），

此時M（﹣2+，﹣3﹣），

當MN是對角線時，點N在點A的左側時，設點F（m，0）．

∴（m2+m﹣5）﹣（﹣m﹣5）＝（﹣m﹣6）﹣[（m+1）2+（m+1）﹣5]，

解得m＝﹣3﹣或﹣3+（舍棄），

此時M（﹣2﹣，﹣3+）；

②當MN為邊時，設點Q（m，m2+m﹣5）則點P（m+1，m2+m﹣6），

∵NQ＝PM，

∴m2+m﹣6＝（m+1）2+（m+1）﹣5

解得m＝﹣3．

∴點M坐標（﹣2，﹣3），

綜上所述，以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，點M的坐標為（﹣2，﹣3）或（﹣2+，﹣3﹣）或（﹣2﹣，﹣3+）．