Question

閱讀理解
如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，剪掉重復部分；…；將余下部分沿∠B_nA_nC的平分線A_nB_n+1折疊，點B_n與點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形．情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線AB₁折疊，點B與點C重合；情形二：如圖3，沿∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，此時點B₁與點C重合．
探究發現
（1）△ABC中，∠B=2∠C，經過兩次折疊，∠BAC是不是△ABC的好角？______（填“是”或“不是”）．
（2）小麗經過三次折疊發現了∠BAC是△ABC的好角，請探究∠B與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系．根據以上內容猜想：若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系為______．
應用提升
（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15°、60°、105°，發現60°和105°的兩個角都是此三角形的好角．
請你完成，如果一個三角形的最小角是4°，試求出三角形另外兩個角的度數，使該三角形的三個角均是此三角形的好角．

Answer 1

【答案】分析：（1）在小麗展示的情形二中，如圖3，根據根據三角形的外角定理、折疊的性質推知∠B=2∠C；
（2）根據折疊的性質、根據三角形的外角定理知∠A₁A₂B₂=∠C+∠A₂B₂C=2∠C；
根據四邊形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根據三角形ABC的內角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；
利用數學歸納法，根據小麗展示的三種情形得出結論：∠B=n∠C；
（3）利用（2）的結論知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形內角和定理可以求得另外兩個角的度數可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
解答：解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，經過兩次折疊，∠BAC是△ABC的好角；
理由如下：小麗展示的情形二中，如圖3，
∵沿∠BAC的平分線AB₁折疊，
∴∠B=∠AA₁B₁；
又∵將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，此時點B₁與點C重合，
∴∠A₁B₁C=∠C；
∵∠AA₁B₁=∠C+∠A₁B₁C（外角定理），
∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．
故答案是：是；

（2）∠B=3∠C；如圖所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，剪掉重復部分，將余下部分沿∠B₂A₂C的平分線A₂B₃折疊，點B₂與點C重合，則∠BAC是△ABC的好角．
證明如下：∵根據折疊的性質知，∠B=∠AA₁B₁，∠C=∠A₂B₂C，∠A₁ B₁C=∠A₁A₂B₂，
∴根據三角形的外角定理知，∠A₁A₂B₂=∠C+∠A₂B₂C=2∠C；
∵根據四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA₁B₁-∠A₁ B₁C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，
根據三角形ABC的內角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由小麗展示的情形一知，當∠B=∠C時，∠BAC是△ABC的好角；
由小麗展示的情形二知，當∠B=2∠C時，∠BAC是△ABC的好角；
由小麗展示的情形三知，當∠B=3∠C時，∠BAC是△ABC的好角；
故若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系為∠B=n∠C；

（3）由（2）知設∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；
∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n為正整數得4+4n+4mn=180
∴如果一個三角形的最小角是4°，三角形另外兩個角的度數是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
點評：本題考查了翻折變換（折疊問題）．解答此題時，充分利用了三角形內角和定理、三角形外角定理以及折疊的性質．難度較大．