Question

如圖，直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△OAB繞點O順時針旋轉90°得到△OCD．

1.求經過A、B、D三點的拋物線的解析式

2.點P是第一象限內拋物線上一點，是否存在這樣的點P，使得點P到直線CD的距離最大，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

1.∵直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，

∴ A(-2,0)、B(0, 4). …………1分

∵△OAB繞點O順時針旋轉90°得到△OCD

∴ C(0, 2)、D(4,0) …………2分

∴ 過A、B、D的拋物線解析式為y= - x²+x+4…………4分

2.∵C(0, 2)、D(4, 0)

∴ 直線CD解析式為y= - x+2…………5分

設P(x, - x²+x+4)   (0＜x＜4)…………6分

   作PE^x軸于E，交CD于Q,

則E(x, 0), Q(x, - x+2) …………7分

 ∴PQ=(- x²+x+4)-(- x+2)= - x²+x+2 …………8分

OE=x,   DE=4-x

∴S_△PCD=S_△PCQ+S_△PDQ=PQ·OE+PQ·DE=PQ·OD

=(- x²+x+2)×4= -x²+3x+4= - (x-)²+…………9分

∴當x=時，△PCD的面積最大，也即P到CD得距離最大。

∴存在點P，使得點P到直線CD的距離最大，此時P點的坐標為（，）

…………10分

解析:略