Question

如圖，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作直線DE垂直BC于F，且交BA的延長線于點E．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）若cos∠BAC=，⊙O的半徑為6，求線段CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD、OD，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到BD與AC垂直，又BA=BC，利用等腰三角形的三線合一性質得到D為AC的中點，又O為AB的中點，可得出OD為三角形ABC的中位線，利用三角形中位線定理得到ODyuBC平行，由EF垂直于BC，得到EF垂直于OD，可得出EF為圓O的切線；
（2）由圓的半徑為6，求出直徑AB為12，在直角三角形ABD中，由cos∠BAC的值及AB的長，求出AD的長，再由第一問得到D為AC的中點，得到CD=AD，即可求出CD的長．
解答：解：（1）證明：連接BD、OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
∵BA=BC，
∴D為AC中點，又O是AB中點，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥BC，
∴∠BFE=∠ODE，
∵DE⊥BC，
∴∠BFE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴直線DE是⊙O的切線；

（2）∵⊙O的半徑為6，
∴AB=12，
在Rt△ABD中，cos∠BAC==，
∴AD=4，
由（1）知BD是△ABC的中線，
∴CD=AD=4．
點評：此題考查了切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形的中位線定理，以及銳角三角函數定義，其中切線的證明方法有：有點連接證明垂直；無點作垂線證明垂線段等于圓的半徑．